Cours et exercices corrigés TOUTE L'ALGEBRE DE LA LICENCE 2e édition

Table des matières AVANT-PROPOS XI
PREMIبRE ANNةE
CHAPITRE 1 • ةQUATIONS DIFFةRENTIELLES LINةAIRES
1.1 Sommes et produits de fonctions 1
1.2 ةquations différentielles linéaires sans second membre 4
1.3 Résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants 4
1.4 Combinaisons linéaires et espace engendré 7
1.5 Solutions des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
sans second membre 7
1.6 Résultats pour les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients
constants avec second membre 8
Exercices 10
Solutions 11
CHAPITRE 2 • SUITES RةCURRENTES LINةAIRES
2.1 Sommes et produits de suites 15
2.2 Suites satisfaisant une relation de récurrence linéaire 16
2.3 Suites satisfaisant un + aun-\ + bun-2 = 0 17
2.4 Un peu d'histoire 19
2.5 ةtude de la suite de Fibonacci 20
Exercices 21
Solutions 22
CHAPITRE 3 • L'ESPACE VECTORIEL Rn
3.1 Introduction de la géométrie à n dimensions 25
3.2 Famille d'éléments, suites finies, rc-uplets 29
IV
Toute l'algèbre de la licence
3.3 Définition de R" 29
3.4 Combinaisons linéaires et espace engendré 30
3.5 Base canonique de W1 33
3.6 Familles triangulaires et échelonnées 34
3.7 La droite vectorielle R 35
3.8 Espaces engendrés dans R2 36
3.9 Espaces engendrés dans R3 39
3.10 Algorithme du pivot de Gauss dans Rn 41
Exercices 44
Solutions 46
CHAPITRE 4 • SYSTبMES LINةAIRES
4.1 Histoire ancienne 53
4.2 Leibniz, Cramer, Gauss 55
4.3 Systèmes linéaires 56
4.4 Exemples de résolution 56
4.5 Systèmes équivalents 58
4.6 Systèmes triangulaires et échelonnés 59
4.7 Méthode du pivot de Gauss 60
4.8 Exemples 64
4.9 Systèmes avec paramètres 66
4.10 Problèmes actuels 67
Exercices 69
Solutions 71
CHAPITRE 5 • GةNةRALITةS SUR LES ESPACES VECTORIELS
5.1 Introduction 73
5.2 Un peu d'histoire 74
5.3 Structure de R-espace vectoriel 75
5.4 Exemples fondamentaux 77
5.5 Précisions sur les corps 78
5.6 Sous-espaces vectoriels 79
5.7 Exemples de sous-espaces vectoriels 80
5.8 Combinaisons linéaires et espace engendré 81
5.9 Somme de sous-espaces 83
Exercices 84
Solutions 86
CHAPITRE 6 • BASES ET DIMENSION
6.1 Introduction 89
6.2 Famille génératrice 89
Table des matières
V
6.3 Famille libre 90
6.4 Base d'un espace vectoriel 92
6.5 Dimension 94
6.6 Exemples de bases 96
6.7 Retour au rang 98
Exercices 99
Solutions 104
CHAPITRE 7 • APPLICATIONS LINةAIRES
7.1 Naissance du concept 111
7.2 Applications linéaires 112
7.3 Exemples 113
7.4 Propriété universelle 116
7.5 Noyau d'une application linéaire 117
7.6 Image d'une application linéaire 118
7.7 Le théorème du rang ou des dimensions 120
7.8 Résolution d'une équation linéaire 120
7.9 Résolution d'un système linéaire 121
7.10 Isomorphismes 123
Exercices 125
Solutions 129
CHAPITRE 8 • MATRICES
8.1 Matrice d'une application linéaire 133
8.2 Matrices et applications linéaires 136
8.3 Un peu d'histoire 137
8.4 Matrices particulières 139
8.5 Exemples 141
8.6 Matrice de la composée 142
8.7 Propriétés du produit 145
8.8 Calcul de l'inverse d'une matrice 146
8.9 Changement de base 149
8.10 Rang et trace 154
8.11 Calculs avec Maple 155
Exercices 156
Solutions 160
CHAPITRE 9 • SOMMES DIRECTES, PRODUITS, QUOTIENTS
9.1 Exemples 165
9.2 Décomposition en somme directe 166
9.3 Sommes directes finies 167
9.4 Produit de deux espaces vectoriels 168
VI
Toute l'algèbre de la licence
9.5 Projecteurs 171
9.6 Espaces vectoriels quotients 172
Exercices 175
Solutions 177
CHAPITRE 10 •DUALITة
10.1 Introduction 181
10.2 Formes linéaires et hyperplans 182
10.3 Baseduale 184
10.4 Orthogonal d'un sous-espace 185
10.5 Transposée d'une application linéaire 187
Exercices 189
Solutions 191
DEUXIبME ANNةE
CHAPITRE 11 • GROUPES
11.1 Introduction 197
11.2 Généralités 198
11.3 Exemples 200
11.4 Sous-groupes 201
11.5 Homomorphismes de groupes 203
11.6 ةtude des groupes de permutation 205
11.7 Signature d'une permutation 208
11.8 Groupe linéaire 210
11.9 Centre du groupe linéaire 211
11.10 Générateurs du groupe linéaire 212
Exercices 213
Solutions 215
CHAPITRE 12 • ARITHMةTIQUE, ANNEAUX
12.1 Introduction 219
12.2 Division euclidienne dans Z 219
Z
12.3 Congruence modulo n, définition de — 220
nZ
Z
12.4 Addition et multiplication dans — 222
jîZ
12.5 Structures d'anneau commutatif unitaire et de corps 223
12.6 Homomorphismes d'anneaux 225
12.7 Utilisations des congruences 226
12.8 ةléments inversibles 227
12.9 Idéal 227
12.10 Sous-groupes, idéaux de Z 228
Table des matières
VII
12.11 Divisibilité, nombres premiers 229
12.12 Pgcd, ppcm, nombres premiers entre eux 230
Z
12.13 Les corps— 234
plu
Exercices 236
Solutions 238
CHAPITRE 13 •POLYNشMES
13.1 Introduction 245
13.2 Polynômes sur un corps A: 246
13.3 Degré, division euclidienne 248
13.4 Pgcd de polynômes 250
13.5 Racines d'un polynôme 252
13.6 Dérivation 254
13.7 ةléments irréductibles 257
13.8 La structure de /^-algèbre de K[X] 258
Exercices 260
Solutions 263
CHAPITRE 14 •DةTERMINANTS
14.1 Introduction historique 269
14.2 Calcul des déterminants : méthode de Bézout 274
14.3 Le caractère alterné 276
14.4 Multilinéarité 278
14.5 Formules et calculs 281
14.6 Déterminant d'un endomorphisme 284
14.7 Déterminant d'une matrice carrée 286
14.8 Retour sur le rang 288
14.9 Déterminant et volume 289
14.10 Déterminant et orientation 291
Exercices 292
Solutions 295
CHAPITRE 15 • AUTOUR DE LA DIAGONALISATION
15.1 Introduction 299
15.2 ةtude du problème 300
15.3 Définitions 301
15.4 Exemple 302
15.5 Condition suffisante de diagonalisabilité 303
15.6 Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité 304
15.7 Changement de corps de base 308
15.8 Seconde condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité 309
VIII
Toute l'algèbre de la licence
15.9 Tnangularjsation 311
15.10 Théorème de Hamilton-Cayley 313
15.11 Quelques applications 314
Exercices 319
Solutions 321
CHAPITRE 16 • ORTHOGONALITة
16.1 Introduction 327
16.2 Orthogonalité dans le plan et l'espace ordinaires 327
16.3 Produit scalaire 330
16.4 Expression du produit scalaire 331
16.5 Norme et angle 334
16.6 Bases orthogonales et orthonormées 337
16.7 Orthogonalité de sous-espaces 340
16.8 Projection orthogonale 342
16.9 Transformations orthogonales 346
16.10 Groupe orthogonal de M2 349
16.11 Groupe orthogonal de M3 351
16.12 Endomorphisme adjoint et autoadjoint 354
16.13 Polynômes orthogonaux : exemple des polynômes de Legendre 357
Exercices 365
Solutions 369
CHAPITRE 17 • CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855) 377
TROISIبME ANNةE
CHAPITRE 18 • OUVERTURES SUR LES GROUPES 397
18.1 Relation d'équivalence sur un ensemble 398
18.2 Notion de sous-groupe distingué 401
18.3 Groupe quotient 404
18.4 Correspondance entre sous-groupes d'un groupe et sous-groupes d'un de ses quotients 407
18.5 Produits de groupes 409
18.6 Groupes monogènes et groupes cycliques 414
18.7 Action d'un groupe sur un ensemble 415
Exercices 420
Solutions 427
CHAPITRE 19 • OUVERTURES SUR LES ANNEAUX COMMUTATIFS UNITAIRES
19.1 Sous-anneau, extension de corps 443
19.2 Caractéristique 446
19.3 Quotient d'un anneau par un idéal 447
19.4 Exemples de quotients 449
19.5 Correspondance entre idéaux d'un anneau et idéaux d'un de ses quotients 453
Table des matières
IX
19.6 Produits d'anneaux 454
19.7 Opérations sur les idéaux 456
19.8 Théorème chinois 457
19.9 ةléments inversibles 461
19.10 Divisibilité dans les anneaux intègres 463
19.11 Idéaux premiers et maximaux 466
19.12 Anneaux euclidiens 469
19.13 Anneaux factoriels 470
19.14 Théorème de Fermât pour n = 3 474
19.15 Corps des fractions d'un anneau intègre 478
Exercices 482
Solutions 487
CHAPITRE 20 • OUVERTURES SUR LES POLYNشMES
20.1 La A -algèbre A [X] 499
20.2 Corps de rupture et de décomposition 503
20.3 Si A factoriel, alors A[X] factoriel 505
20.4 Recherche des facteurs irréductibles d'un polynôme 507
20.5 Décomposition en éléments simples dans C(X) et R(X) 508
20.6 Méthodes pour prouver l'irréductibilité d'un polynôme de Z[X], de Q[X] 512
20.7 Localisation des racines d'un polynôme de R[X] 514
20.8 Polynômes à plusieurs indéterminées 518
20.9 Polynômes symétriques 520
20.10 Fractions continues 526
20.11 Géométrie algébrique 535
Exercices 537
Solutions 544
CHAPITRE 21 • CORPS FINIS
21.1 Corps finis : généralités 559
21.2 Existence et unicité des corps finis 562
21.3 Loi de réciprocité quadratique 565
21.4 Factorisation dans Z[i ], théorème des deux carrés 569
21.5 Algorithme de Berlekamp 570
21.6 Histoire de la cryptographie 574
21.7 Logarithme discret 577
21.8 La méthode RSA 578
21.9 Grands nombres premiers 581
21.10 Factorisation 582
Exercices 585
Solutions 591
CHAPITRE 22 • FORMES BILINةAIRES SYMةTRIQUES ET QUADRATIQUES
22.1 Compléments sur le groupe orthogonal d'un espace euclidien 601
22.2 Formes bilinéaires et bilinéaires symétriques 608
22.3 Formes quadratiques 612
X
Toute l'algèbre de la licence
22.4 Méthode de Gauss pour la décomposition en carrés 614
22.5 Décomposition d'une forme quadratique sur C ou R 617
22.6 Diagonalisation simultanée de deux formes quadratiques 619
22.7 Orthogonalité 621
22.8 Espaces quadratiques réguliers 622
22.9 Groupe orthogonal d'un espace quadratique régulier 626
22.10 Quaternions 629
22.11 Recherches arithmétiques de Lagrange 634
Exercices 640
Solutions 646
BIBLIOGRAPHIE 661
INDEX 665